Comment compter en binaire ?  

Partagé par GdArros le 20/08/2016  —  4 min de lecture

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Pré-requis pour ce tutoriel :

  • Maîtriser le calcul avec exposants (puissances) en mathématiques


1 – Le système décimal

Le système décimal est un système que vous connaissez bien, nous l’utilisons tous les jours pour compter. Il nécessite l’existence de 10 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On parle dans ce cas de « Base 10 ».

Par exemple, 1845 est un nombre écrit en Base 10. Décomposons-le :

  • 5 x 100 = 5 (pour rappel/explication le « 100 » se lit « dix exposant zéro »)
  • 4 x 101 = 40
  • 8 x 102 = 800
  • 1 x 103 = 1000
  • 1000 + 800 + 40 + 5 = 1845

Evident n’est-ce pas ? Vous allez bientôt comprendre pourquoi cette décomposition – que l’on doit TOUJOURS commencer par la droite – est importante. C’est tout ce qu’il nous faudra savoir sur la Base 10 dans le cadre de ce tutoriel. Cependant, la Base 10 n’est pas la seule existante.  

2 – Les autres bases

Il existe autant de bases que de symboles utilisés. Pour éviter de ne jamais finir de vous les présenter, je vais vous parler des principales :
  • La Base 12 (système duodécimal) : composée de 12 symboles, elle est utilisée principalement pour compter les heures et les mois.
  • La Base 16 (système hexadécimal) : composée de 16 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F), elle est utilisée en informatique notamment dans l’écriture des codes couleur que vous avez sans doute déjà rencontrés. Exemple : FFFFFF (blanc).
  • La Base 60 (système sexagésimal) : composée de 60 symboles, elle est utilisée notamment pour les mesures des minutes, des secondes et des angles.
  • La Base 2 (système binaire) : composée de 2 symboles (0, 1), elle est celle qui nous intéresse ici.

3 – Le système binaire

Le système binaire est très ancien, sa création remonterait à 25 siècles avant J-C. Heureusement j’étais là, je vais donc pouvoir vous expliquer comment ça fonctionne.

Comme vous l’avez vu plus haut, le langage binaire est composé de 2 symboles : 0 et 1. Par exemple, « 11111111 » en binaire (Base 2) vaut 255 en Base 10.

Avant que je ne vous explique comment j’ai fait cette conversion, il est important que vous ayez connaissance de certaines généralités :

  • On fractionne communément le binaire en groupes de 8 symboles.
  • Un groupe de 8 symboles est appelé un « octet ».
  • Un symbole est appelé un « bit ».
Un octet comprend donc 8 bitsMaintenant que vous savez ça, nous allons pouvoir passer aux choses sérieuses : la conversion.

Reprenons l’exemple précédent à savoir 11111111 et utilisons le fameux calcul qui nous a servi plus haut pour la Base 10 :

  • 1 x 20 = 1
  • 1 x 21 = 2
  • 1 x 22 = 4
  • 1 x 23 = 8
  • 1 x 24 = 16
  • 1 x 25 = 32
  • 1 x 26 = 64
  • 1 x 27 = 128
  • 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

Nous obtenons donc 255 qui est le nombre maximal que l’on peut obtenir sur 1 octet (11111111 étant le plus grand des octets).

Pour ceux qui ont déjà un peu exploré le fonctionnement des réseaux informatiques, ce nombre ne vous rappelle rien ? Et oui, c’est bien le nombre maximal que l’on peut trouver sur une adresse IPExemple : 255.255.255.255.

Vous comprenez désormais qu’elle est composée de 4 octets soit 32 bits. Parenthèse à part, essayez maintenant de convertir en Base 10 ces quelques octets avec la méthode que nous venons d'utiliser :

  • 10010110
  • 01011000
  • 01000000 11110111 (le fonctionnement est strictement le même dans ce cas, il suffit d'ajouter 1 à l'exposant pour chaque bit supplémentaire).
Essayez de ne pas regarder les réponses plus bas et pensez à TOUJOURS commencer par la droite.

Réponses : 10010110 (Base 2) = 150 (Base 10) ; 01011000 (Base 2) = 88 (Base 10) ; 01000000 11110111 (Base 2) = 16631 (Base 10).

4 – Écrire en binaire

Maintenant que vous savez convertir un nombre de la Base 2 à la Base 10 vous vous demandez surement comment l'ordinateur, qui est basé sur le langage binaire, affiche autre chose que des chiffres non ?

Et bien nos lettres de l'alphabet, par exemple, ont leurs équivalents numériques : A => 01000001 ; B => 01000010 ; C => 01000011 (pour n'en donner que trois).

Vous remarquerez qu'en les convertissant vous retrouvez les nombres 65, 66 et 67 en Base 10. L'ordinateur est programmé de manière à faire la différence entre un 65 et un A.

C'est la fin de ce tutoriel, j'espère qu'il vous a plu. Si vous avez des questions ou que vous jugez que je devrais plus développer une partie, faites-le moi savoir en commentaires :)


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